Dôkazy v matematike
Základom logickej výstavby matematiky je súbor axióm, čo sú východiskové matematické výroky, ktoré sa vo všeobecnosti považujú za pravdivé a nedokazujú sa. Slúžia na zavádzanie základných matematických pojmov. Sústava axióm musí byť:
-
bezosporná - nemožno z nej vyvodiť výrok a zároveň jeho negáciu
-
nezávislá – nemožno vyvodiť jednu axiómu z ostatných axióm
-
úplná – zo sústavy axióm sa dá vyvodiť pravdivosť alebo nepravdivosť ľubovoľného matematického výroku, ktorý nie je axiómou.
Príklad na axiómu:
Priamka je daná dvomi bodmi.
Rovina je určená tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke.
Na zavedenie ďalších matematických pojmov slúžia definície, ktoré stanovia nový pojem a určia jeho charakteristické vlastnosti pomocou základných pojmov, príp. už zavedených pojmov.
Príklad na definíciu: Kružnica je množina bodov, ktoré majú od určeného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť.
Matematická veta je pravdivý matematický výrok, ktorý sa dá logicky odôvodniť z axióm, definícií a už dokázaných viet. Vety slúžia na budovanie matematickej teórie aj na využitie matematických poznatkov v praxi.
Mnohé matematické vety sú vyjadrené v tvare implikácií ( A(x) → B(x) ) alebo v tvare ekvivalencií ( A(x) ↔ B(x) ).
Rozlišujeme všeobecnú a existenčnú vetu.
Existenčná veta má tvar existenčného výroku: Existuje také x patriace do množiny D, že platí V(x).
Príklad na existenčnú vetu: Existuje záporné reálne číslo, ktoré je menšie ako -5.
Všeobecná veta má tvar všeobecného výroku: Pre každé x patriace do množiny D platí V(x).
Príklad na všeobecnú vetu: V každom rovnobežníku sa uhlopriečky navzájom rozpoľujú.
Pre všeobecnú vetu v tvare implikácií zavádzame pojmy ako obrátená, obmenená a negácia vety.
Všeobecná veta je v tvare: A(x) → B(x)
Obmenená veta je v tvare: B´(x) → A´(x)
Obrátená veta: B(x) → A(x)
Negácia vety: A(x) ^ B´(x)
Príklady na jednotlivé typy viet:
Veta: Pre každé n є N: 2/n → 2/n2
Obmenená veta: Pre každé n є N: 2 / n2 →2 / n
Obrátená veta: Pre každé n є N: 2 / n2 →2 / n
Negácia vety: Existuje n є N: 2/n^ 2 / n2
Platnosť matematických viet pomocou axióm, definícií a už dokázaných viet sa overuje dôkazmi matematických viet.
Ak je veta v tvare implikácie A(x) → B(x), kde A je predpoklad a B je dôsledok, potom túto vetu vieme dokázať 4 typmi.
-
Priamy dôkaz
-
Nepriamy dôkaz
-
Dôkaz sporom
-
Dôkaz matematickou indukciou
-
Priamy dôkaz implikácie A → B. Vychádzame z predpokladu implikácie A a priamym reťazcom implikácií B1, B2, B3, ........... B, kde B1, B2, B3, ... sú axiómy alebo dokázané tvrdenia a B je záver.
-
Nepriamy dôkaz používame najmä na dôkaz implikácie A → B. Postupujeme tak, že najskôr vytvoríme obmenu implikácie B´→ A´ a túto dokazujeme priamo. B´→ B1→ B2→..............→ Bn → A´. Využívame skutočnosť, že implikácia a jej obmena majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu, a preto namiesto implikácie môžeme dokazovať jej obmenu.
-
Dôkaz sporom vety A → B sa robí tak, že sa daná implikácia neguje a pomocou reťazca implikácií sa dospeje k logickému sporu. Hovoríme, že sme prišli k sporu. Zo sporu vyplýva, že negované tvrdenie neplatí a teda musí platiť pôvodná veta.
-
Dôkaz matematickou indukciou pre vetu typu: Pre každé n є N platí V(n) realizujeme v dvoch krokoch.
-
krok- Dokážeme platnosť tvrdenia pre n = 1, resp. pre najmenší prvok z uvažovanej množiny. Z prvého kroku vyplýva, že existuje aspoň jedno také n = n0 , že platí tvrdenie V(n) - indukčný predpoklad
-
krok = idukčný – Dokazujeme implikáciu:
Pre každé n є N platí V(n) → V(n+1). Tým je tvrdenie V(n) dokázané, pretože po dôkaze kroku 2 platí: V(1) → V(2) → V(3) ......
Dôkaz matematickou indukciou sa často používa pri radoch a postupnostiach.
Ak je veta v tvare ekvivalencie A(x) ↔ B(x), potom túto vetu dokazujeme v dvoch smeroch:
1. A(x) → B(x)
2. B(x) → A(x)
